Question

（2013•镇江一模）已知函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=ln（2-a_n）+a_n，n∈N^*，证明0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

分析：（1）通过求解函数的导数，利用导数大于等于0恒成立，即可求实数a的取值范围；
（2）先利用数学归纳法证明0＜a_n＜1．然后利用作差法以及对数运算法则证明a_n＜a_n+1即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数．
∴f′(x)=

-1

2-x

+a≥0在区间（0，1）上恒成立，…（2分）
∴a≥

1

2-x

，又g(x)=

1

2-x

在区间（0，1）上是增函数
∴a≥g（1）=1即实数a的取值范围为a≥1．…（3分）
（2）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1．当n=1时，a₁∈（0，1）成立，…（4分）
假设n=k时，0＜a_k＜1成立，…（5分）
当n=k+1时，由（1）知a=1时，函数f（x）=ln（2-x）+x在区间（0，1）上是增函数
∴a_k+1=f（a_k）=ln（2-a_k）+a_k∴0＜ln2=f（0）＜f（a_k）＜f（1）=1，…（7分）
即0＜a_k+1＜1成立，∴当n∈N^*时，0＜a_n＜1成立．…（8分）
下证a_n＜a_n+1．∵0＜a_n＜1，∴a_n+1-a_n=ln（2-a_n）＞ln1=0．…（9分）
∴a_n＜a_n+1．综上0＜a_n＜a_n+1＜1．…（10分）

点评：本题考查函数的导数的应用，单调性与导数的关系，数学归纳法证明不等式问题的方法，考查逻辑推理与计算能力．