Question

已知椭圆C：的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且B（-1，-3），
(Ⅰ)求椭圆C和直线l的方程；
(Ⅱ)记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，若曲线x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与区域D有公共点，试求实数m的最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由离心率e=，得，
即，①
又点B（-1，-3）在椭圆C：上，即，②
解①②得，
故所求椭圆方程为，
由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2。
(Ⅱ)曲线x²-2mx+y²+4y+m2-4=0，
即圆(x-m)²+(y+2)²=8，其圆心坐标为G（m，-2)，半径r=2，表示圆心在直线y=-2上，半径为2的动圆，
要求实数m的最小值，由下图可知，只须考虑m＜0的情形．

设圆G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，
当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0，
解方程组，得T（-2，-4），
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，
所以切点TD，
由图可知当圆G过点B时，m取得最小值，
即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得m_min=--1。