Question

已知数列{a_n}的各项分别为1，a+a²，a²+a³+a⁴，a³+a⁴+a⁵+a⁶，…，求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

∵an=an-1+an+…+a2n-2，
当a=1时，a_n=n，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

当a≠1时，由登比数列的求和公式可得，an=

an-1(1-an)

1-a

=

an-1-a2n-1

1-a

，
∴Sn=

1

1-a

[(1+a+a2+…+an-1)-(a+a3+…+a2n-1)]，
①当a≠±1时，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]
②当a=-1时，S_n=

1

2

[1-1+1-1+…（-1）^n-1-（-1-1-1…-1）]
=

1

2

[1-1+1-1…(-1)n-1]-n×(-1)×

1

2

（1）当n为奇数时，Sn=

1

2

×1+

1

2

n即Sn=

1+n

2

；
（2）当n为偶数时，Sn=

1

2

×0+

1

2

×n即Sn=

n

2

．
综上可得，当a=1时，S_n=

n(n+1)

2

当a=-1时，Sn=

n+1 2 ，n为奇数 n 2 ，n为偶数

当a≠±1时，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]