Question

已知函数，有下列四个命题：
①f（x）是奇函数；
②f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减；
④f（x）零点个数为2个；
⑤方程|f（x）|=a总有四个不同的解．
其中正确的是    ．（把所有正确命题的序号填上）

Answer 1

【答案】分析：①由题意得函数定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因为所以f（x）是奇函数．②令f（x）=0得．③f′（x）=1+＞0可得函数的单调性．④令f（x）=0得即解得．⑤因为f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增且f（x）零点个数为2个所以函数y=|f（x）|在定义域内分四段结合函数的图象可得结果．
解答：解：①由题意得函数定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因为所以所以f（x）是奇函数．所以①正确．
②令f（x）=0得即解得所以值域内包含有0．所以②错误．
③f′（x）=1+＞0所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增；所以③错误．
④令f（x）=0得即解得所以f（x）零点个数为2个；所以④正确．
⑤因为f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增且f（x）零点个数为2个所以函数y=|f（x）|在定义域内分四段，又因为a＞0所以方程|f（x）|=a总有四个不同的解；
故答案为（1）（4）（5）．
点评：解决本题的关键是函数的性质要熟练，结合导数解决函数的性质问题，在运用函数的性质时要注意函数的定义域．