Question

（2012•临沂二模）在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=

2

|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使

NA

•

NB

为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），利用|DP|=

2

|DM|，确定P，M坐标之间的关系，再将P点的坐标后代入圆的方程即可得；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积运算，化简即可得到结论．

解答：解：（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵|DP|=

2

|DM|，∴|y1|=

2

|y|
∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x2+y12=4
∴x²+2y²=4
∴点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1(x≠±2)；
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

∵

NA

=(x1-n，y1)，

NB

=(x2-n，y2)，
∴

NA

•

NB

=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=

1

2

(2n2+4n-1)-

2n+ 7 2

1+2k2

∵

NA

•

NB

是与k无关的常数，
∴2n+

7

2

=0
∴n=-

7

4

，即N（-

7

4

，0），此时

NA

•

NB

=-

15

16

当直线AB与x垂直时，n=-

7

4

时

NA

•

NB

=-

15

16

综上所述，在x轴上存在定点N（-

7

4

，0），使

NA

•

NB

为常数．

点评：本题考查了利用相关点法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．