Question

已知函数f（x）=lnx，当x＞0时，f（x）＜ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：当x＞0时，f（x）＜ax恒成立，即为a＞

lnx

x

恒成立，令g（x）=

lnx

x

，求出导数，得到极大值也为最大值，令a大于最大值即可．

解答： 解：当x＞0时，f（x）＜ax恒成立，
即为a＞

lnx

x

恒成立，
令g（x）=

lnx

x

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
当x＞e，时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当0＜x＜e，时，g′（x）＞0，g（x）递增．
则x=e为g（x）的极大值点，也为最大值点，
且g（x）最大值为

1

e

．
则a＞

1

e

．

点评：本题考查函数的恒成立问题，注意转化为求函数的最值，考查导数的运用，考查运算能力，属于中档题．