Question

设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上递减，若f（

1

2

）=0，若f（log 

1

4

x）＞0，那么x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据偶函数的性质，得到f（log 

1

4

x）=f（|log 

1

4

x|），然后，根据函数的单调性得到∴-

1

2

＜

1

2

log₂x＜

1

2

，从而得到相应的范围．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（|x|）=f（x），
∴f（log 

1

4

x）=f（|log 

1

4

x|），
又∵f（x）在[0，+∞）上递减，且f（

1

2

）=0，
∴f（|log 

1

4

x|）＞0=f（

1

2

），
∴|log 

1

4

x|＜

1

2

，
∴-

1

2

＜

1

2

log₂x＜

1

2

，
∴-1＜log₂x＜1，
∴

1

2

＜x＜2，
故答案为：（

1

2

，2）．

点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性、函数的单调性的应用，对数的运算等知识，属于中档题，本题解题关键是准确把握偶函数的性质．