Question

求下列函数的最大值和最小值，以及使函数取得最大值、最小值的自变量x的值：
（1）y=（sinx-

3

2

）²-2；
（2）y=-sin²x+

3

sinx+

5

4

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）设t=sinx，-1≤t≤1，y=（t-

3

2

）²-2，利用二次函数求解．（2）y=-t²+

3

t+

5

4

，-1≤t≤1，利用二次函数求解．

解答： 解：（1）∵y=（sinx-

3

2

）²-2；
设t=sinx，-1≤t≤1，
∴y=（t-

3

2

）²-2，
∵t∈[-1，1]上单调递减，
∴当t=1，x=2kπ+

π

2

，k∈z时，y=_min=-

7

4

，
当t=-1，x=2kπ-

π

2

，k∈z时，y_max=

17

4

，
（2）∵设t=sinx，-1≤t≤1，
y=-sin²x+

3

sinx+

5

4

．
∴y=-t²+

3

t+

5

4

，-1≤t≤1，
根据二次函数的性质得：
当t=

3

2

时，x=2kπ+

π

3

，或x=2kπ+

2π

3

，k∈z，y_max=2，
当t=-1，x=2kπ-

π

2

，k∈z时，y_min=

1

4

-

3

，

点评：本题考查了换元法转化为二次函数求解问题，属于中档题．