Question

已知f（x）定义在R上的奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）在（-2，0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性，从而求出函数的解析式；（2）设0＜x₁＜x₂＜2，根据函数的单调性的定义，求出f（x₁）＞f（x₂），从而证出函数的单调性．

解答： 解：（1）x∈（-2，0）时，-x∈（0，2），
∴f(-x)=

3-x

9-x+1

=

3x

1+9x

，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

3x

1+9x

；
（2）设0＜x₁＜x₂＜2，
则3x1-3x2＜0，1-3x1+x2＜0，(9x1+1)(9x2+1)＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，2）上是减函数．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的奇偶性，是一道中档题．