Question

已知椭圆是抛物线的一条切线。

   （I）求椭圆的方程；

   （II）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（I）由

因直线相切

                          

故所求椭圆方程为                                                              

   （II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

                                   

当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：                         

由

即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）

事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。

当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

若直线L不垂直于x轴，可设直线L：

由

记点、                                 

              

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）

所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件。