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(08年泰安市模拟)(12分)

       已知椭圆是抛物

线的一条切线。

   (I)求椭圆的方程;

   (II)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。

解析:(I)由

因直线相切

                                                     …………2分

故所求椭圆方程为                                …………4分

   (II)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:

                                        

当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:        

即两圆相切于点(0,1)

因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)                    …………6分

事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下。

当直线L垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1)

若直线L不垂直于x轴,可设直线L:

记点               …………8分

                             …………10分

所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)

所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件。             …………12分

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