精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=|2x+1|-|x-4|
(1)求函数f(x)的值域
(2)若关于x的不等式f(x)≥a2-3a-7在x∈[0,5]上恒成立,试求实数a的取值范围.
分析:(1)去掉绝对值符号,将函数化为分段函数的形式,解出值域即可;
(2)若满足条件,则a2-3a-7小于等于f(x)最小值,求出函数f(x)在[0,5]上的最小值,得到不等式解出即可.
解答:解:(1)f(x)=
-x-5,x<-
1
2
3x-3,-
1
2
≤x≤4
x+5,x>4

x<-
1
2
时,f(x)>-
9
2

-
1
2
≤x≤4
时,-
9
2
≤f(x)≤9
x>4时,f(x)>9
综上,f(x)≥-
9
2
,值域[-
9
2
,+∞)

(2)由于f(x)≥a2-3a-7在x∈[0,5]上恒成立,
则使函数在[0,5]上最小值大于等于a2-3a-7即可
∵0≤x≤4时,f(x)=3x-3为增函数,∴-3≤f(x)≤9
又∵x>4时,f(x)>9∴x∈[0,5]时,f(x)≥-3
∴a2-3a-7≤-3,即a2-3a-4≤0,解得-1≤a≤4
点评:熟练掌握分类讨论方法解含绝对值符号的不等式、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(2x+
π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,时f(x)的表达式;
(2)若关于x的方程f(x)-a=o有解,求实数a的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的单调递增区间;(文科可参考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,记函数g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案