Question

（本小题满分14分）

设动圆过点，且与定圆内切，动圆圆心的轨迹记为曲线，点的坐标为．

（1）求曲线的方程；

（2）若点为曲线上任意一点，求点和点的距离的最大值；

（3）当时，在（2）的条件下，设是坐标原点，是曲线上横坐标为的点，记△的面积为，以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（本小题满分14分）

（1）.    

（2） ．

（3）存在最小值．

【解析】（本小题满分14分）

解: （1）定圆圆心为，半径为.     --------------------------------------------1分

设动圆圆心为，半径为，由题意知，，，      ----------------------------------------------------------------2分

因为,

所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，     -------------3分

故曲线的方程为.     --------------------------------------------------------4分

（2）设，则

，      -----------------------------------------------------5分

令，，所以，

当，即时，在上是减函数，

 ；          ----------------------------------------------6分

当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；                     -----------------------7分

当，即时，在上是增函数，

．   -----------------------------------------------------------8分

所以， ．              --------------------------9分

（3）当时,,于是,.

若正数满足条件，则， -------------------------10分

即，所以 .       -----------------------------11分

令，设，则，，于是

所以，当，即，时，，

----------------------------------------------13分

所以， ，即．所以，存在最小值． ------------------------14分

另解：当时,,于是,.

若正数满足条件，则， -------------------------10分

即，所以 .       ---------------------------11分

令，则，

由,得.

当时，；当时，.

故当时，， ---------------------------------------------13分

所以， ，即．所以，存在最小值．  -----------------------14分