Question

20．已知P（x，y）满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+y-4≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，点A（1，1）则OP•cos∠AOP的取值范围是[2$\sqrt{2}$，$\frac{9\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，建立向量$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OP}$=（x，y），从而可得OP•cos∠AOP=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$，从而解得．

解答 解：由题意作平面区域如下，
，
设$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
则OP•cos∠AOP=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$，
结合图象可知，4≤x+y≤9，
∴2$\sqrt{2}$≤$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$≤$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：[2$\sqrt{2}$，$\frac{9\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查了线性规划与向量的综合应用．