Question

5．已知函数f（x）=x²-4ax+2a+6．
（1）若函数f（x）有零点，求实数a的范围；
（2）在（1）的条件下，求g（a）=2-a•|a+3|的值域．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）有零点，则△=16a²-4（2a+6）＜0，解得答案；
（2）在（1）的条件下，求g（a）=-a²-3a+2，a∈（-1，$\frac{3}{2}$），结合二次函数的图象和性质，可得函数的值域．

解答 解：（1）若函数f（x）有零点，
则△=16a²-4（2a+6）＜0，
解得：a∈（-1，$\frac{3}{2}$）；
（2）在（1）的条件下，求g（a）=2-a•|a+3|=-a²-3a+2，a∈（-1，$\frac{3}{2}$）；
∵g（a）=-a²-3a+2的图象是开口朝下，且以直线x=-$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线，
故当a∈（-1，$\frac{3}{2}$）时，函数为减函数，
故当a=-1时，函数取最大值4，当a=$\frac{3}{2}$时，函数取最小值-$\frac{19}{4}$，
故g（a）=2-a•|a+3|的值域为（-$\frac{19}{4}$，4）

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的零点，函数的值域，难度中档．