Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：当时，存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，

从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）根据f（x）的最小值是f（）=，存在x0，使得f（x0）

＜1f（）＜1，由f（）﹣1=，设g（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．

（Ⅰ）函数的定义域为，且。

因为

令，得到，

当m>0时，x变化时，，的变化情况如下表：

x
	-	0	-
	↘	极小值	↗

所以函数在处取得极小值

当m<0时，x变化时，，的变化情况表如下：

x
	+	0	-
	↗	极大值	↘

所以函数在处取得极大值

（Ⅱ）当m>0时，由（Ⅰ）可知，的最小值是，所以“存在，使得

等价于“”

所以.

设

则

当0<x<1时，，单调递增

当1<x时，，单调递减

所以的最大值为，所以，所以结论成立.