Question

18．已知a，b∈（0，+∞），且2^a4^b=2．
（Ⅰ）求$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式$|{x-1}|+|{2x-3}|≥\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2^a4^b=2可知a+2b=1，利用“1”的代换，即可求$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值；
（Ⅱ）分类讨论，解不等式，即可求实数x的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由2^a4^b=2可知a+2b=1，又因为$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=（{\frac{2}{a}+\frac{1}{b}}）（{a+2b}）=\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}+4$，
由a，b∈（0，+∞）可知$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}+4≥2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}+4=8$，
当且仅当a=2b时取等，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为8．…（5分）
（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x-1|+|2x-3|≥8，
①$\left\{\begin{array}{l}x≤1\\ 1-x+（{3-2x}）≥8\end{array}\right.$，∴$x≤-\frac{4}{3}$．
②$\left\{\begin{array}{l}1＜x＜\frac{3}{2}\\ x-1+3-2x≥8\end{array}\right.$，∴x∈∅，
③$\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{3}{2}\\ x-1+2x-3≥8\end{array}\right.$，∴x≥4．
综上，$x∈（{-∞，-\frac{4}{3}}]∪[{4，+∞}）$．…（10分）

点评 本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．