Question

(本小题满分14分)

已知F₁，F₂分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自点F₁引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设＝λ.

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)证明：＝－λ；

(Ⅲ)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范围.

 

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)∵椭圆＋＝1的右焦点F₂的坐标为(1,0)，

∴可设曲线C的方程为y²＝2px.(p>0)

∴p＝2.

曲线C的方程为y²＝4x.                                   (3分)

(Ⅱ)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₁，－y₁).

∵＝λ，

∴x₁＋1＝λ(x₂＋1).　①

y₁＝λy₂，　②

∴y＝λ²y，

∵y＝4x₁，y＝4x₂.

∴x₁＝λ²x₂.　③

③代入①得λ²x₂＋1＝λx₂＋λ.

∴λx₂(λ－1)＝λ－1.

∵λ≠1，∴x₂＝，x₁＝λ.

∴＝(x₁－1，－y₁).

由②知，－y₁＝－λy₂，

∴＝－λ(－1，y₂)，

＝－λ.

故＝－λ.                                          (9分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知x₂＝，x₁＝λ，得x₁x₂＝1.

∴y·y＝16x₁x₂＝16.

∵y₁y₂>0，∴y₁y₂＝4.

则|PQ|²＝(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²

＝x＋x＋y＋y－2(x₁x₂＋y₁y₂)

＝(λ＋)²＋4(λ＋)－12

＝(λ＋＋2)²－16.

∵λ∈[2,3]，∴λ＋∈.

∴|PQ|²∈.

得|PQ|∈.    

【解析】略