Question

已知点，，动点G满足．

（Ⅰ）求动点G的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知过点且与轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹于P，Q两点．在线段上是否存在点，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的方程是．（Ⅱ）存在，实数m的取值范围是．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义知，动点G的轨迹是以，为焦点的椭圆，由题设即可得动点G的轨迹的方程.（Ⅱ）要使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，只需即可．设，则，，由得移项用平方差公式得    ①

设直线的方程为，则，，故①式变形为，然后用韦达定理可得一个与的关系式：，由此关系式可看出，这样的点存在，并由可求出的取值范围.

另外，由于，所以也可利用得：.

试题解析：（Ⅰ）由，且知，动点G的轨迹是以，为焦点的椭圆，设该椭圆的标准方程为，，

由题知，，则，

故动点G的轨迹的方程是． 4分

（Ⅱ）假设在线段上存在，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．直线l与轴不垂直，设直线的方程为，，

由可得．

， ． 6分

，，，其中．

由于MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，

所以，则有， 8分

从而，

所以，

又，则，，

故上式变形为， 10分

将代入上式，得，

即，所以，可知．

故实数m的取值范围是．                   ..13分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的关系.