Question

已知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），设b_n=

an

2n

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求常数c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）对一切n∈N^*恒成立；
（3）求数列{a_n}通项公式，并讨论：是否存在常数a，使得数列{a_n}为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知

an+1

2n+1

=

1

2

-

3

2

•

an

2n

，又bn=

an

2n

，∴bn+1=

1

2

-

3

2

bn．由此可知数列b_n的递推公式．
（2）由题意知b_n+1=qb_n+c-qc，又由（1）可知，bn+1=

1

2

-

3

2

bn，由此可知bn+1-

1

5

= -

3

2

(bn-

1

5

)  ，(n∈N*)
（3）由（2）知，数列{bn-

1

5

}是首项为b1-

1

5

公比为-

3

2

的等比数列，由此可知an=2nbn=2n[

1

5

+(

a

2

-

1

5

)(-

3

2

)n-1] ，(n∈N*)为所求的通项公式．由此可求出所有这样的常数a．

解答：解：（1）∵a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴

an+1

2n+1

=

1

2

-

3

2

•

an

2n

，又bn=

an

2n

，∴bn+1=

1

2

-

3

2

bn．
数列b_n的递推公式是

b1= a 2 bn+1= 1 2 - 3 2 •b1，(n∈N*)

．
（2）∵b_n+1-c=q（b_n-c）（n∈N^*）
∴b_n+1=qb_n+c-qc
又由（1）可知，bn+1=

1

2

-

3

2

bn
∴

q=- 3 2 c-qc= 1 2

，∴q=-

3

2

，c=

1

5

，
∴bn+1-

1

5

= -

3

2

(bn-

1

5

)  ，(n∈N*)
（3）由（2）知，数列{bn-

1

5

}是首项为b1-

1

5

公比为-

3

2

的等比数列．
∴bn-

1

5

=(b1-

1

5

)  (-

3

2

)n-1，(n∈N*)
∴an=2nbn=2n[

1

5

+(

a

2

-

1

5

)(-

3

2

)n-1] ，(n∈N*)为所求的通项公式．
考察数列a_n，∵an=2•3n-1[

1

5

(

2

3

)n+(

a

2

-

1

5

)(-1)n-1]
1^O．当a=

2

5

时，an=

1

5

•2n，
此时数列a_n是递增数列．
2^O．当a≠

2

5

时，
(

a

2

-

1

5

)  (-1)n-1是正负相间出现，其绝对值是正常数|

a

2

-

1

5

|，
而

lim

n→∞

1

5

• (

2

3

)n-1=0．
故当n充分大时，an=2•3n-1[

1

5

(

2

3

)n+(

a

2

-

1

5

)(-1)n-1]的值的符号
与(

a

2

-

1

5

)(-1)n-1的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，
故数列a_n不可能是单调数列．
综上所述，当且仅当a∈{

2

5

}时，数列a_n是递增数列．

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．