Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD．
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于90°．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积及二面角的度量．（1）由PB⊥平面ABCD，我们易得∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°代入易得到VP-ABCD=

1

3

•

3

a•a2=

3

3

a3（2）由于棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP，垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDE．∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．解三角形AEC可得
∠CFA的余弦值小于0，故面与面所成的二面角恒大于90°

解答：解（1）∵PB⊥平面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，∴PA⊥DA
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°
而PB是四棱锥P-ABCD的高，PA=AB•tan60°=

3

a
∴VP-ABCD=

1

3

•

3

a•a2=

3

3

a3
证明：（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．
作AE⊥DP，垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDE．
∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．
设AC与DB相交于点O，连接EO，则EO⊥AC．

2

2

a=OA＜AE＜AD=a
在△AEC中，cos∠AEC=

AE2+EC2-(2•OA)2

2AE•EC

=

(AE+ 2 OA)(AE- 2 OA)

AE2

＜0
所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

点评：求这个四棱锥的体积，关键是要根据已知条件求出底面面积和棱锥的高，然后代入棱锥体积公式计算；证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于90°，即证明二面角对应的平面角余弦值小于0．