精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是PA的中点.
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)求证:PC∥平面BDE.
分析:(Ⅰ)先根据PA⊥平面ABCD确定PA为四棱锥P-ABCD的高,进而根据棱锥的体积公式可求出四棱锥P-ABCD的体积.
(Ⅱ)连接AC交BD于O,再连接OE,根据中位线定理可得到PC∥OE,再由线面平行的判定定理可证明PC∥OE,得证.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,
VP-ABCD=
1
3
S正方形ABCD•PA

=
1
3
×12×2=
2
3

即四棱锥P-ABCD的体积为
2
3


(Ⅱ)连接AC交BD于O,连接OE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴O是AC的中点.
又∵E是PA的中点,
∴PC∥OE.
∵PC∉平面BDE,OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE.
点评:本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用.考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中点.求证:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求三棱锥P-MBD的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求证:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E-BD-A的大小为45°,若存在,试求
AE
AP
的值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,点F是PB中点.
(Ⅰ)若E为BC中点,证明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC边上任一点,证明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直线PA与平面PDE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,设PC与AD的夹角为θ.
(1)求点A到平面PBD的距离;
(2)求θ的大小;当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ,求动点Q的轨迹方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案