Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD，证明AD⊥平面PGB，可得AD⊥PB；
（2）利用等体积法，找出其高和底，从而由体积公式求三棱锥P-MBD的体积．

解答：（1）证明：取AD的中点G，连接PG、GB．
∵PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．
（2）解：V_P-MBD=V_B-PMD=

1

3

SPMD×BO=

1

3

×

1

2

×

3

=

3

6

．

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．