Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=

3

，点F是PB中点．
（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=

3

3

，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证EF∥平面PAC，证明EF∥CP即可．
（Ⅱ）要证PE⊥AF，证明AF⊥平面PBC即可．通过PB⊥AF，BC⊥AF可以证出AF⊥平面PBC
（Ⅲ）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法，求出平面PDE的一个法向量，则直线PA与平面PDE所成角的正弦值等于

AP

与此法向量夹角的余弦绝对值．

解答：（Ⅰ）证明：E为BC中点，F是PB中点，∴EF∥CP，CP?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC；
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
又PA=AB，F是PB中点，∴PB⊥AF，PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，PE?平面PBC，∴PE⊥AF．
（III）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
P（0，0，1）D（

3

，0，0）B（0，1，0），E（

3

3

，1，0）

PD

=（

3

，0，-1）

DE

=（-

2 3

3

，1，0）
设平面PDE的一个法向量为

n

=（x，y，z）
由

n • PD =0 n • DE =0

得

3 x-z=0 - 2 3 3 x+y=0

令x=1得平面PDE和一个法向量

n

=（1，

2 3

3

，

3

），|

n

|=

4 3

3

又

AP

=（0，0，1）AP与平面PDE所成角为θ
所以sinθ=

|AP • n |

| AP ||  n |

=

3

4 3 3

=

3

4

PA与平面PDE所成角正弦值为

3

4

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．