分析:(Ⅰ)因为数列{a
n}满足递推式a
n=3a
n-1+3
n-1(n≥2),且a
4=365,所以利用递推式,
由a4求a3,由a3求a2,由a2求a1,
(Ⅱ)由
{}为等差数列,以及等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数,所以可设
=xn+y解出a
n,再根据(Ⅰ)中所求a
1,a
2,a
3的值解出x,y,λ即可.
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所求出的a
n,利用错位相减法求数列{a
n}的前n项之和.
解答:解:(Ⅰ)由a
n=3a
n-1+3
n-1,及a
4=365知a
4=3a
3+3
4-1=365,则a
3=95
同理求得a
2=23,a
1=5
(Ⅱ)∵
{}为一个等差数列,于是设=xn+y∴a
n=(xn+y)•3
n-λ,又由a
1=5,a
2=23,a
3=95
知 | 5=a1=(x+y)•3-λ | 23=a2=(2x+y)•9-λ | 95=a3=(3x+y)•27-λ |
| |
∴
an=(n+)•3n+,而an=(n+)•3n+满足递推式因此λ=-.
(Ⅲ)∵
an=(n+)•3n+先求bn=(n+)•3n的前n项和记Tn=(1+)•31+(2+)•32+…+(n+)•3n则3Tn=(1+)•32+(2+)•33+…+(n+)•3n+1由上两式相减
Tn-3Tn=(1+)3+32+33+…+3n-(n+)•3n+1-2Tn=+-(n+)•3n+1=+(3n+1-9)-(n+)•3n+1=-n•3
n+1Tn=n•3n+1因此{an}•前n项和为Tn+=•3n+1+=(3n+1+1).
点评:本题考查了等差数列的通项公式,以及错位相见求数列的和,做题时要善于观察,找到规律.