Question

已知离心率为

6

3

的椭圆C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P(

3

，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点，若

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

6

3

的椭圆C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P(

3

，1)，建立方程，确定几何量的值，从而可得椭圆方程；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，根据

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

，可得S△OMN=

2

3

6

，再利用S△OMN=

1

2

|MN|d，求得k的值，即可求得l的方程．

解答：解：（1）依题意，离心率为

6

3

的椭圆C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P(

3

，1)．
∴

3

a 2

+

1

b2

=1，且e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

2

3

解得：a²=6，b²=2
故椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1…（4分）
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线l的方程可设为y=k（x+2）
代入椭圆方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

12k2

3k2+1

，x1•x2=

12k2-6

3k2+1

…（6分）
由

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

得：|

OM

|•|

ON

|sin∠MON=

4

3

6

，
∴S△OMN=

2

3

6

…（9分）
又|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

2 6 (1+k2)

3k2+1

，原点O到l的距离d=

|2k|

1+k2

，
则S△OMN=

1

2

|MN|d=

6 (1+k2)

3k2+1

•

|2k|

1+k2

=

2

3

6

解得k=±

3

3

∴l的方程是y=±

3

3

(x+2)…（13分）
（用其他方法解答参照给分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确计算三角形的面积是关键．