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如图,已知离心率为
3
2
的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的方程.
(2)证明:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
分析:(Ⅰ)先由椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
和椭圆过点M(2,1),列出方程组,再由方程组求出a,b,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)由直线l∥OM,设l:y=
1
2
x+m
,将式子代入椭圆C得:x2+2mx+2m2-4=0,设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.只需证明:k1+k2=0即可.
解答:(Ⅰ)解:设椭圆C的方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
由题意得:
c
a
=
3
2
4
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2

解得a2=8,b2=2,
∴椭圆方程为
x2
8
+
y2
2
=1

(Ⅱ)证明:由直线l∥OM,设l:y=
1
2
x+m

将式子代入椭圆C得:x2+2mx+2m2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2
k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2

∵k1+k2=
1
2
x
1
+m-1
x1-2
+
1
2
x
2
+m-1
x2-2

=1+m•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•
-2m-4
2m2-4-2(-2m)+4
=0,
故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查三角形是等腰三角形的证明,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右顶点分别为A1、A2,上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为
1
3
,圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称.
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(1)求椭圆E的离心率;
(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系,并说明理由;
(3)若圆C的面积为π,求圆C的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知双曲线E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦点分别为
F1(-c,0)、F2(c,0),点A(c,b),B(0,b),O为坐标原点,直线OA与直线F2B的交点在双曲线E上.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)设直线F1A与双曲线E 交于M、N两点,
F1M
MA
F1N
NA
,若λ+μ=4,求双曲线E的方程.
(3)在(2)的条件下,过点B的直线与双曲线E相交于不同的两点P、Q,求
BP
BQ
的取值范围.

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精英家教网如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
3
2
,点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为
6
5
5

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求
EP
QP
的最小值.

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已知离心率为
3
2
的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的点到左焦点F的最长距离为
3
+2

(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,若点M在x轴上,且使得MF为△AMB的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”,求椭圆的“左特征点”M的坐标.

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如图,已知AB=2c(常数c>0),以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD,若椭圆以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,椭圆的离心率为
3
-1
3
-1

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