Question

如图，已知AB=2c（常数c＞0），以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD，若椭圆以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，椭圆的离心率为

3

-1

．

Answer 1

分析：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值，则AC和BC可求，进而根据椭圆的定义求得椭圆的长轴，利用离心率公式，可得结论．

解答：解：设∠BAC=θ，过C作CE⊥AB，垂足为E，则
BC=2csinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2csin²θ，∴CD=2c-4csin²θ，
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c-4csin²=-4c（sinθ-

1

2

）2+5c．
当sinθ=

1

2

，即θ=30°时，l有最大值5c，这时，BC=c，AC=

3

c，a=

1

2

（AC+BC）=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

c

3 +1 2 c

=

3

-1．
故答案

3

-1

点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查椭圆与圆的综合，考查椭圆的几何性质，属于中档题．