Question

如图，已知|

AB

|=2c，|

BC

|=2a（a＞c），且

AD

=

1

2

AC

，

DP

•

AC

=0，C为动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点E、F，且线段EF的中垂线与AB（或AB的延长线）相交于一点Q，求出点Q的活动范围．

Answer 1

分析：（1）由已知，根据向量关系，结合线段中垂线性质，研究出|

PA|

+|

PB

|=|

BC

|=2a＞2c，得知点P是以A，B为焦点，长轴长为2a的椭圆，可写出其轨迹方程．
 （2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），Q（x₀，0），得出 x₀=

(x1+x2)c2

2a

，再根据-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a求出|x₀|＜

c2

a

．点在与AB中点相距 

c2

a

的线段上活动（不包括两端点）．

解答：解：如图，以A，B所在直线为x轴，A，B的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．由题设，2

AD

=

AC

，

PD

•

AC

=0，
∴||

PC

|=

|PA

|．
而|

PA|

+|

PB

|=|

BC

|=2a＞2c
∴点P是以A，B为焦点，长轴长为2a的椭圆．即

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），Q（x₀，0）
x₁≠x₂，|

QE

|=|

QF

|
即（x₁-x₀）2+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂^{2 ①}
又E，F在轨迹上，∴

x12

a2

+

y12

a2-c2

=1，

x22

a2

+

y22

a2-c2

=1
 将y₁²，y₂² ，代入①式整理，得
2（x₂-x₁）═（x₂-x₁）²•

c2

a2

       
∵x₁≠x₂，∴x₀=

(x1+x2)c2

2a

-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，
-2a＜x₁+x₂ ＜2a
-

c2

a

＜x₀＜

c2

a

．
即|x₀|＜

c2

a

．
∴点在与AB中点相距 

c2

a

的线段上活动（不包括两端点）．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系．（1）中得出而|

PA|

+|

PB

|=|

BC

|=2a＞2c （2）中得出 x₀=

(x1+x2)c2

2a

是关键．考查解析法的思想、计算能力．