Question

3．若方程x²sinα-y²cosα=1（0≤α＜2π）表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{4}$π，π）
• B． （$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{4}$π）
• C． （$\frac{π}{2}$，π）
• D． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{4}$π）

Answer 1

分析 先将原方程变成椭圆标准方程的形式为：$\frac{{x}^{2}}{-cosα}+\frac{{y}^{2}}{sinα}=\frac{1}{-cosαsinα}$，从而有$\left\{\begin{array}{l}{-cosα＞0}\\{sinα＞0}\\{-cosα＞sinα}\end{array}\right.$，这样可通过正余弦函数的图象或三角函数线得出α的范围．

解答 解：原方程可变成：$\frac{{x}^{2}}{-cosα}+\frac{{y}^{2}}{sinα}=\frac{1}{-sinαcosα}$；
该方程表示椭圆，则：
$\left\{\begin{array}{l}{-cosα＞0}\\{sinα＞0}\\{-cosα＞sinα}\end{array}\right.$；
∴$\frac{3}{4}π＜α＜π$；
∴α的取值范围是：$（\frac{3}{4}π，π）$．
故选：A．

点评 考查椭圆的标准方程的形式，椭圆的焦点，椭圆的焦点在x轴时，椭圆的方程应满足的条件，以及熟悉正余弦函数图象和三角函数线．