Question

已知直线l₁：mx-y=0，l₂：x+my-m-2=0
（1）求证：直线l₂恒过定点，并求定点坐标；
（2）求证：对m的任意实数值，l₁和l₂的交点M总在一个定圆上；
（3）若l₁与定圆的另一个交点为P₁，l₂与定圆的另一个交点为P₂，求当实数m取值变化时，△MP₁P₂面积取得最大值时，直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）对于任意实数m，l₂：x+my-m-2=0恒过定点，则与m的取值无关，转化为（x-2）+m（y-1）=0让m的系数为零、x-2=0即可得到直线l₂恒过定点，以及定点坐标；
（2）联立两条直线方程，消去m，即得到l₁和l₂的交点M的方程，判断M总在一个定圆上即可；
（3）通过l₁与定圆的另一个交点为P₁，l₂与定圆的另一个交点为P₂，利用（2）说明P₁P₂是圆C的直径，
当且仅当圆心C（1，

1

2

）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，利用点到直线的距离公式列出m的关系式，求出m即可得到直线l₁的方程．

解答：解：（1）方程l₂：x+my-m-2=0可化为（x-2）+m（y-1）=0
∵对于任意实数m直线l₂：x+my-m-2=0 恒过定点
∴

x-2=0 y-1=0

∴故定点坐标是（2，1）．
（2）由题意可得

mx-y=0 x+my-m-2=0

，消去m可得x²+y²-2x-y=0，方程表示圆，即M总在一个定圆上．
（3）由圆C的方程以及直线l₁，l₂的方程可知，直线l₁恒过（0，0）点，
直线l₂恒过（2，1）点，也在圆C上，
故直线l₁，l₂的与圆C的另一个交点P₁（0，0），P₂（2，1），P₁P₂是圆C的直径，
当且仅当圆心C（1，

1

2

）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，
所以

|m- 1 2 |

m2+1

=

| 1 2 m+1|

m2+1

，所以m=3或m=-

1

3

，
所以直线l₁：3x-y=0或x+3y=0．

点评：本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，三角形的面积的最值的判断，考查计算能力，转化思想的应用．