Question

已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点且过点P做椭圆，当点P在半圆上移动时，椭圆的离心率有（　　）

• A．最大值

  1

  2

• B．最小值

  1

  2

• C．最大值

  2

  2

• D．最小值

  2

  2

Answer 1

分析：根据直径所对的圆周角为直角得到∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²，再利用基本不等式算出|PA|+|PB|≤

2

|AB|．再由以A、B为焦点的椭圆经过点P，利用椭圆的定义与离心率的公式加以计算，可得当|PA|=|PB|时，椭圆的离心率有最小值

2

2

．

解答：解：∵AB为半圆的直径，点P在半圆上．
∴∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²．
根据基本不等式，得（|PA|+|PB|）²≤2（|PA|²+|PB|²）=2|AB|²，
∴|PA|+|PB|≤

2

|AB|．
又∵以A、B为焦点的椭圆经过点P，
∴椭圆的长轴2a=|PA|+|PB|，焦距2c=|AB|，
由此可得椭圆的离心率e=

2c

2a

=

|AB|

|PA|+|PB|

≥

|AB|

2 |AB|

=

2

2

．
即当|PA|=|PB|时，椭圆的离心率有最小值

2

2

．
故选：D

点评：本题给出以半圆的直径AB为焦点的椭圆经过半圆上一点P，求椭圆离心率的最值．着重考查了圆周角定理、利用基本不等式求最值和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．