Question

已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求出所有的正整数m ，使得．

Answer 1

（1）；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）本题是等差、等比混合计算题目，解题关键是等差数列和等比数列的公共项，由等差数列的定义设，（为整数），根据等比中项列方程得求，进而确定等比数列公比，再写通项公式；（2）本题考查分段数列的通项公式，当，等式同时涉及等差数列和等比数列的项，故可采取验证的方法，当时，利用等比数列通项公式得关于的方程，通过研究方程解的情况得出结论．

试题解析：（1） 设数列前6项的公差为，则，（为整数）

又，，成等比数列，所以，

即，得 4 分

当 时，， 6 分

所以，，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，

所以，当时，．故 8分

（2）由（1）知，数列 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，

当时等式成立，即；

当时等式成立，即； 10分

当时等式不成立； 12分

当时，，

若，则，所以 14分

，，从而方程无解

所以 ．故所求或． 16分

考点：等差数列和等比通项公式.