Question

若对函数K定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“K函数”．下列函数是“K函数”有

 

（将所有序号填上）．
①y=2x+3   ②y=x^-2   ③y=2^x-2   ④y=lnx．

Answer 1

分析：根据函数①与④有函数值为零的点，当f（x₁）=0时，不存在x₂满足f（x₁）f（x₂）=1成立，故函数①和④不是K函数；
对于②函数y=x^-2，由R函数的定义得f（x₁）f（x₂）=1，即x12x22=1，对应的x₁、x₂不唯一，故函数②也不是K函数；根据题意验证函数③满足条件，可得答案．

解答：解：对①，∵对于函数f（x）=2x+3，当x₁=-

3

2

时，f（-

3

2

）=0，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，∴函数①不是“K函数”；
对②，∵对于函数y=x^-2，由R函数的定义得f（x₁）f（x₂）=1即x12x22=1，对应的x₁、x₂不唯一，∴函数②y=x^-2不是“K函数”；
对③，∵f（x）=2^x，满足对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在定义域内的唯一一个自变量x₂=-x₁使得f（x₁）f（x₂）=1成立，∴函数③是“K函数”；
对④，∵对于函数f（x）=lnx，当x₁=1时，f（1）=0，∴不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，∴函数④不是“K函数”
故答案是：③．

点评：本题借助新定义函数考查了函数的图象与性质，关键是抓住定义函数的条件的实质，排除不符合条件的函数．