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设函数h(x)=x2,φ(x)=2elnx(e为自然对数的底).
(1)求函数F(x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”.试问:函数h(x)和φ(x)是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据所给的函数,对函数求导,使得导函数等于0,验证可能的极值点两侧导函数的符合相反,得到函数存在极值.
(2)由题意知若存在隔离直线,则对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,两个函数的图象有公共点,设出直线的方程,根据函数的恒成立得到k的值,求出函数的极大值,得到结论.
解答:解:(1)∵F(x)=h(x)-φ(x)=x2-2elnx(x>0)
F(x)=
2(x-
e
)(x+
e
)
x

当x=
e
时,F(x)=0,当0<x<
e
时,F(x)<0,当x>
e
时,F(x)<0
∴F(x)在
e
处取得极小值0.
(2)由(1)知当x>0时,h(x)≥φ(x),
若存在隔离直线,则对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,
∵两个函数的图象有公共点,
∴隔离直线必过(
e
,e)
设直线的方程是y-e=k(x-
e

∴h(x)≥kx+e-k
e
恒成立,
∴△≤0
∴k=2
e

令G(x)=φ(x)-2
e
x+e
对函数求导有当x>
e
时,F(x)<0,当0<x<
e
时,F(x)<0
∴当x=
e
时有G(x)的极大值 为0,也就是最大值为0.
从而G(x)≤0,即?(x)≤2
e
x-e,(x>0)
恒成立.
故函数h(x) 和φ(x) 存在唯一的“隔离直线”y=2
e
x-e
点评:本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性,由最值的定义得出函数的最值,本题中第一小题是求出函数的极值,第二小题是一个求函数的最值的问题,此类题运算量较大,转化灵活,解题时极易因为变形与运算出错,故做题时要认真仔细.
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(2013•东莞一模)已知函数f(x)=lnx-
ax
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx-
ax
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R
(1)当a=1时,判断f(x)的单调性;
(2)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(3)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数g(x)=ax-
ax
-5lnx,其中a∈R.
(1)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ln
ex
2
-f′(1)•x,g(x)=
3x
2
-
2a
x
-f(x)(其中a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)在区间[2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(3)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=1时,若存在x1∈(0,1],对任意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.

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