设函数h(x)=x2,φ(x)=2elnx(e为自然对数的底).
(1)求函数F(x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”.试问:函数h(x)和φ(x)是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据所给的函数,对函数求导,使得导函数等于0,验证可能的极值点两侧导函数的符合相反,得到函数存在极值.
(2)由题意知若存在隔离直线,则对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,两个函数的图象有公共点,设出直线的方程,根据函数的恒成立得到k的值,求出函数的极大值,得到结论.
解答:解:(1)∵F(x)=h(x)-φ(x)=x
2-2elnx(x>0)
∴
F′(x)=当x=
时,F
′(x)=0,当0<x<
时,F
′(x)<0,当x>
时,F
′(x)<0
∴F(x)在
处取得极小值0.
(2)由(1)知当x>0时,h(x)≥φ(x),
若存在隔离直线,则对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,
∵两个函数的图象有公共点,
∴隔离直线必过(
,e)
设直线的方程是y-e=k(x-
)
∴h(x)≥kx+e-k
恒成立,
∴△≤0
∴k=2
令G(x)=φ(x)-2
x+e
对函数求导有当x>
时,F
′(x)<0,当0<x<
时,F
′(x)<0
∴当
x= 时有G(x)的极大值 为0,也就是最大值为0.
从而G(x)≤0,即
?(x)≤2x-e,(x>0) 恒成立.
故函数h(x) 和φ(x) 存在唯一的“隔离直线”
y=2x-e.
点评:本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性,由最值的定义得出函数的最值,本题中第一小题是求出函数的极值,第二小题是一个求函数的最值的问题,此类题运算量较大,转化灵活,解题时极易因为变形与运算出错,故做题时要认真仔细.