Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=lnx-

1

x

，f′（x）=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

，由此能推导出f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，求出a的范围．
（3）对h（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，只要要求g（x）_max≥h（x）_max，即可，从而求出m的范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

，x＞0．
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．
∴g（x）=ax-

a

x

-5lnx，x＞0
∴g′（x）=a+

1

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，
若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，
∴a＞

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

，
∵

5

x+ 1 x

≤

5

2 1

=

5

2

（x=1时等号成立），
∴a＞

5

2

．
（3）当a=2时，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，令g′（x）=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=2，
当0＜x＜

1

2

，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当

1

2

＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=

1

2

处取得极大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（

1

2

）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥

11-5ln2

2

，
∵

11-5ln2

2

＞3，故m不存在；
若m＞3时，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
实数m的取值范围：m≥8-5ln2；

点评：本题考查函数单调性与导数的关系，和分类讨论思想，及二次函数的知识，是导数中常见的恒成立问题，属难题．