Question

已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，再由题意知在x=1处的导数值为0，列出方程求出a的值．
（2）由kx-2=2x-2+e^-x参变量分离得k=2+

1

xex

，k转化成求g（x）=2+

1

xex

在（∞，0）的取值范围，从而得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=2-ae^-x，
∵f（x）在x=1处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，
即2-ae^-1=0，解得a=2e，
（2）a=1时，f（x）=2x-2+e^-x，
由题意可知方程kx-2=2x-2+e^-x在（∞，0）上有解，
整理得k=2+

1

xex

，
令g（x）=2+

1

xex

，g′(x)=

-(ex+xex)

(xex)2

=-

1+x

x2ex

当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（-1）=2-e，
则g（x）≤g（-1）=2-e，故k≤2-e，
所以k的取值范围为k≤2-e．

点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了函数的零点问题，对于函数有交点问题经常利用参变量分离得方法转化为求函数的值域．属于中档题．