Question

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  2011

  2012

• C．

  2010

  2011

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求．

解答：解：∵f（x）=x²-bx
∴f′（x）=2x-b
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-b
∵切线l与直线x+3y-1=0垂直，∴-b+2=3
∴b=-1，f（x）=x²+x
∴f（n）=n²+n=n（n+1）
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S₂₀₁₂=

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(2012)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

故选A．

点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．