Question

【题目】漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资． （Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：

雕刻量n	210	230	250	270	300
频数	1	2	3	3	1

以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻师当天的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（I）当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n﹣250）=1.7n﹣125，

当n＜250时，f（n）=1.2n，

所以 ．

（ II）（ⅰ）设当天的收入不低于276元为事件A，设当天雕刻量不低于270个为事件B，

由（I）得“利润不低于276元”等价于“雕刻量不低于230个”，则P（A）=0.9，

所以 ．

（ⅱ）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值为252，276，300，334，385．

所以P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，（10分）X的分布列为

X	252	276	300	334	385
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=309.1（元）

【解析】（I）利用一次函数的解析式，分别得出当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n﹣250）；当n＜250时，f（n）=1.2n．（ II）（ⅰ）设当天的收入不低于276元为事件A，设当天雕刻量不低于270个为事件B，由（I）得“利润不低于276元”等价于“雕刻量不低于230个”，可得P（A）=0.9，再利用条件概率计算公式可得．（ⅱ）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值为252，276，300，334，385．即可得出分布列与数学期望．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．