Question

【题目】已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率 ，且椭圆过点 ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为 ．

则 ，解得：a2=4，b2=3．

∴椭圆方程为 ；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径R，

则△F1AB的周长=4a=8， （|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，

因此 最大，R就最大，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由 ，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

．

则 = ，

令 ，则m2=t2﹣1，

∴ = ，

令f（t）=3t+ ，则f′（t）=3﹣ ，

当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4， ≤3，

即当t=1，m=0时， ≤3，

由 =4R，得Rmax= ，这时所求内切圆面积的最大值为 ．

故直线l：x=1，△F1AB内切圆面积的最大值为 ．

【解析】（Ⅰ）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB的周长=4a=8， = （|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此 最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．