Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}(n∈N*)，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P，
(1)当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；
(2)若集合S具有性质P，试判断集合T={(2n+1)-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由。

Answer 1

解：(1)当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，
B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P，
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b₁=10与b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立． 集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P，
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素，
都有。
(2)若集合S具有性质P．那么集合T=|(2n+1)-x|x∈|S}一定具有性质P．
首先因为T={(2n+1)-x|x∈S}，任取t=(2n+1)-x₀∈T，其中x₀∈S，
因为SA，所以x₀∈{1，2，3，…，2n}，
而1≤(2n+1)-x₀≤2n，即t∈A，所以TA，
由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素，都有，
对上述取定的不大于n的正整数m，
从集合T=|(2n+1)-x|x∈S}中任取元素，其中，
都有，
因为，
所以有，即，
所以集合具有性质P。