Question

已知圆P的方程是x²+y²+ax+by+c=0，圆心P是直线l₁：x-y-3=0与直线l₂：x+y-1=0的交点
（1）求P的坐标以及实数c的取值范围；
（2）若圆P与y轴交于A，B两点，且∠APB=120°，求实数c的值．

Answer 1

分析：（1）把直线l₁ 与直线l₂的方程联立方程组，求得圆心P的坐标为（2，-1），可得a、b的值．再由圆的半径为

1

2

a2+b2-4c

＞0，求得实数c的取值范围．
（2）先求得点P到y轴的距离为4，半径为

1

2

20-4c

．再由半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，再由直角三角形中的边角关系求得c的值．

解答：解：（1）由

x-y-3=0 x+y-1=0

 求得

x=2 y=-1

，故圆心P的坐标为（2，-1），∴-

a

2

=2，且-

b

2

=-1，
求得 a=-4，b=2．
再由圆的半径为

1

2

 

a2+b2-4c

=

1

2

16+4-4c

＞0，求得c＜5，即实数c的取值范围为（-∞，5）．
（2）由（1）可得圆P的方程是x²+y²+-4x+2y+c=0，点P到y轴的距离为4，半径为

1

2

20-4c

．
由于半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，再由直角三角形中的边角关系可得cos60°=

4

1 2 20-4c

=

1

2

，
解得c=1．

点评：本题主要考查求两条直线的交点坐标，根据圆的一般方程求圆心坐标和半径，直线和圆相交的性质，属于中档题．