Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为x=-2，点P在准线l上，纵坐标为3t-

1

t

  (t∈R ， t≠0)，点Q在y轴上，纵坐标为2t．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）利用准线l的方程求出P值即可求出抛物线C的方程；
（2）先求出直线PQ的方程并设出对应圆的方程，利用直线PQ恒与定圆M相切，得到关于圆心横坐标和t以及半径的关系式，再利用与t值无关就可求出圆M的方程．

解答：解：（1）设抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），
因为准线l的方程为x=-2，所以-

p

2

=-2，即p=4，
因此抛物线C的方程为y²=8x；（4分）
（2）由题意可知，P(-2 ， 3t-

1

t

)，Q（0，2t），
则直线PQ方程为：y-2t=

2t-(3t- 1 t )

2

x，
即（t²-1）x+2ty-4t²=0，设圆心在x轴上，
且与直线PQ相切的圆M的方程为（x-x₀）²+y²=r²（r＞0），
则圆心M（x₀，0）到直线PQ的距离

|(t2-1)x0-4t2|

(t2-1)2+4t2

=r，
即（t²-1）x₀-4t²=r+rt²①或（t²-1）x₀-4t²=-r-rt²②由①
可得（x₀-r-4）t²-x₀-r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，
则有

x0-r-4=0 -x0-r=0

，解得

x0=2 r=-2

（舍去）由②可得
（x₀+r-4）t²-x₀+r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，
则有

x0+r-4=0 -x0+r=0

，可解得

x0=2 r=2

因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，圆M的方程为（x-2）²+y²=4．（16分）

点评：在求抛物线的标准方程时，因为抛物线的标准方程有四种情况，所以我们在作题时一定要先分析焦点所在位置以及开口方向．