Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（Ⅰ）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由BD⊥CC₁，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）先将二面角C₁-BD-C的大小为60°，转化为对应的平面角的大小，根据三垂线定理可知：∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，∴∠C₁OC=60°，接着就可以求解异面直线BC₁与AC所成角的大小．求异面直线所成的角，可用几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．连接A₁B．∵A₁C₁∥AC，∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角．
解法二：
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，DD₁=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C₁（0，a，b）
（Ⅰ）、

BD

=(-a，-a，0)，

AC

=(-a，a，0)，

CC1

=(0，0，b)，∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

CC1

=0，
∴BD⊥AC，BD⊥CC₁，又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C₁O，则点O坐标为(

a

2

，

a

2

，0)，

OC1

=(-

a

2

，

a

2

，b)，先将二面角C₁-BD-C的大小为60°，转化为对应的平面角的大小，通过计算可知：∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，∴∠C₁OC=60°，接着就可以求解异面直线BC₁与AC所成角的大小．

解答：解：法一：
（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC₁
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C₁O．
∵CC₁⊥平面ADCD
∴BD⊥AC，
∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴∠C₁OC=60°．连接A₁B．
∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角．
设BC=a，则
CO=2

2

2

a，CC1=CO•tan60°．A1B=BC1=

10

2

a．A1C1=

2

a．
在△A₁BC₁中，由余弦定理得cosA₁C₁B=

A1 C 2 1 +B C 2 1 -A1B2

2A1C1•BC1

=

5

5

，
∴∠A₁C₁B=arccos

5

5

'
∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos

5

5

．

法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
设AD=a，DD₁=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C₁（0，a，b），
∴

BD

=(-a，-a，0)，

AC

=(-a，a，0)，

CC1

=（0，0，b），∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

CC1

=0，
∴BD⊥AC，BD⊥CC₁，
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．

（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C₁O，
则点O坐标为(

a

2

，

a

2

，0)，

OC1

=(-

a

2

，

a

2

，b)，
∵

BD

•

OC1

=0，∴BD⊥C₁O，又∵BD⊥CO，
∴∠C₁OC是二面角C₁BDC的平面角，∴∠C₁OC=60°，
∵tanC₁OC=

CC1

OC

=

b

2 2 a

=

3

，∴b=

6

2

a．
∵

AC

=(-a，a，0)，

BC1

=（-a，0，b），
∴cos?

AC

，

BC1

＞=

AC • BC1

|AC |•| BC1|

=

5

5

，
∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos

5

5

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、异面直线所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．