Question

【题目】已知函数的相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的函数为奇函数．

（1）求的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据相邻两对称轴间的距离求出值，由函数图像的变换关系，求出函数，再结合是奇函数，即可求出参数；

（2）设，，原方程在区间上有两个不等实根，转化为方程在内仅有一个根，且另一个根，转化一元二次方程根的分布求参数，或分离参数转化为对勾函数与直线交点横坐标范围，即可求解.

解：（1）由题意知的周期，

故，

而

为奇函数，则，且

，

而，故，因此；

（2）由（1）知，题意等价于

在区间上有两个不等实根，

令，，则题意

方程在内仅有一个根，且另一个根．

法一：令，则题意或；

法二：显然不是该方程的根，题意

与的图像在内仅有一个交点且另一个交点不为，

由于对勾函数在上单减，在上单增，

故有或，因此．