Question

（本小题满分14分）

已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.

求动点 M 的轨迹 C 的方程；

（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)解法１：设------------------------------ 1分

则=>------ 4分

∴动点M 的轨迹为以、为焦点，长轴长为 4的椭圆  -----------------5分

由 ∴ ----------------------------- 6分

∴    动点M 的轨迹 C的方程为   ---------------------------------7分

[解法２：设点，

则------------------------2分

∵     

∴ ------------------------------ 4分

∴点 M 的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆     ------------5分

∴  ∴      --------------------------6分

∴    动点M 的轨迹 C的方程为   ------------------7分]

 (2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，             

设满足条件的直线、存在，直线的方程为----①

则直线的方程为，-------------②--------------------------------------------------------------8分

将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.--9分

将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则.---10分

由△BDE是等腰直角三角形得

----③--------12分

∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分

∵方程④的根判别式，即方程④有两个不相等的实根，且不为1.

∴方程③有三个互不相等的实根.

即满足条件的直线、存在，共有3组．-----------------------------------------------------------14分

（注：只答存在1组，给2分）