Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱锥A-PDE的体积；
（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．（2分）
又因为ABCD是矩形，
所以AD⊥CD．（3分）
因为PD∩CD=D，
所以AD⊥平面PCD．
又因为PC?平面PCD，
所以AD⊥PC．（5分）
（Ⅱ）因为AD⊥平面PCD，
所以AD是三棱锥A-PDE的高．
因为E为PC的中点，且PD=DC=4，
所以S△PDE=

1

2

S△PDC=

1

2

×(

1

2

×4×4)=4．（7分）
又AD=2，
所以VA-PDE=

1

3

AD•S△PDE=

1

3

×2×4=

8

3

．（9分）
（Ⅲ）取AC中点M，连接EM，DM，
因为E为PC的中点，M是AC的中点，
所以EM∥PA．
又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM，
所以PA∥平面EDM．（12分）
所以AM=

1

2

AC=

5

．
即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为

5

．（14分）