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定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值,则称之为函数的长距;若模存在最小值,则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数是否存在长距与短距,若存在,请求出;
(2)求证:指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数,使得函数的短距不小于2,若存在,请求出的取值范围;不存在,则说明理由?

(1)短距为,长距不存在,短距为,长距为5;(2)证明见解析;(3).

解析试题分析:本题属于新定义概念,问题的实质是求函数图象上的点到原点的距离的最大值和最小值(如有的话),正面讨论时我们把距离表示为的函数.(1)对(当且仅当时等号成立),因此存在短距为,不存在长距,对
,即有最大值也有最小值,因此短距和长距都有;(2)对函数,由于,因此短距不大于1,令,则有,故当时,存在使得 ,当时,存在使得 ,即证;(3)记,按题意条件,则有不等式恒成立,这类不等式恒成立求参数取值范围问题,我们可采取分离参数法,转化为求函数的最值,按分别讨论,由此可求得的范围.
(1)设(当且仅当取得等号)+2分
短距为,长距不存在。    +4分
(2)设   +6分
        +8分
短距为,长距为5。    +9分
(3)设 函数的短距不小于2
对于始终成立:+10分
时:对于始终成立    +12分
时:取即可知显然不成立           +13分
时:对于始终成立      +15分
综上     +16分
考点:新定义概念,函数的最大值与最小值,不等式恒成立问题.

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