定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值,则称之为函数的长距;若模存在最小值,则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距,若存在,请求出;
(2)求证:指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数,使得函数的短距不小于2,若存在,请求出的取值范围;不存在,则说明理由?
(1)短距为,长距不存在,短距为,长距为5;(2)证明见解析;(3).
解析试题分析:本题属于新定义概念,问题的实质是求函数图象上的点到原点的距离的最大值和最小值(如有的话),正面讨论时我们把距离表示为的函数.(1)对,(当且仅当时等号成立),因此存在短距为,不存在长距,对,
,,即有最大值也有最小值,因此短距和长距都有;(2)对函数,,由于,因此短距不大于1,令,则有,故当时,存在使得 ,当时,存在使得 ,即证;(3)记,按题意条件,则有不等式对恒成立,这类不等式恒成立求参数取值范围问题,我们可采取分离参数法,转化为求函数的最值,按分别讨论,由此可求得的范围.
(1)设(当且仅当取得等号)+2分
短距为,长距不存在。 +4分
(2)设 +6分
+8分
短距为,长距为5。 +9分
(3)设 函数的短距不小于2
即对于始终成立:+10分
当时:对于始终成立 +12分
当时:取即可知显然不成立 +13分
当时:对于始终成立 +15分
综上 +16分
考点:新定义概念,函数的最大值与最小值,不等式恒成立问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)(2011•湖北)设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2﹣3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(Ⅰ) 求a、b的值,并写出切线l的方程;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数,其中,为正整数,,,均为常数,曲线在处的切线方程为.
(1)求,,的值;
(2)求函数的最大值;
(3)证明:对任意的都有.(为自然对数的底)
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