Question

19．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，$\sqrt{34}$，$\sqrt{41}$，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是50π．

Answer 1

分析 先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．

解答 解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，
则a²+b²=25，b²+c²=34，c²+a²=41，
得a²+b²+c²=50．
于是，球的直径2R满足4R²=（2R）²=a²+b²+c²=50．
故外接球的表面积为S=4πR²=50π．
故答案为：50π．

点评 本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．