Question

（2006•海淀区二模）函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（

1

3

）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

Answer 1

分析：（1）可采用赋值法，令x=0，y=2代入可求得f（0）的值；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x₁=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，故p₁＜p₂，再判断f（x₁）-f（x₂）的符号，从而可证其单调性；
（3）由（1）（2）可证f（b）＞1，f（a）=f（b•

a

b

）=[f(b)]

a

b

，f（c）=f（b•

c

b

）=[f(b)]

c

b

，从而可证得f（a）+f（c）=[f(b)]

a

b

+[f(b)]

c

b

＞2

[f(b)] c+a b

＞2

[f(b)] 2b b

=2f（b），问题即可解决．

解答：解：（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（

1

3

）＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

p1）-f（

1

3

p2）=[f(

1

3

)]p1-[f(

1

3

)]p2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1，
∴f（b）＞1，
∵f（a）=f（b•

a

b

）=[f(b)]

a

b

，f（c）=f（b•

c

b

）=[f(b)]

c

b

，
∴f（a）+f（c）=[f(b)]

a

b

+[f(b)]

c

b

＞2

[f(b)] c+a b

，
而a+c＞2

ac

=2

b2

=2b，
∴2

[f(b)] c+a b

＞2

[f(b)] 2b b

=2f（b），
∴f（a）+f（c）＞2f（b）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于用单调函数的定义证明其单调递增时“任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁=

1

3

p1，x2=

1

3

p2”这一步的灵活理解与应用，属于难题．